ژمارەی e

e ژمارەیەکی ناڕێژەیی و نەگۆڕە، بەھای نزیکەیی e یەکسانە بە ٢٫٧٣. ژمارەی e لە ڕێسای فانکشنی توانیدا بەکار دێت. گرتەی فانکشنی $f(x)=e^{x}$ لە خاڵی $x=0$ یەکسانە بە $1$. ژمارەی $e$ بە ناو ماتماتیکزانی سویسڕی لیۆنارد ئۆیلەر ناونراوە و بە ژمارەی ئۆیلەر دەناسرێت. ھەندێک جار بە ژمارەی نێپێر یان نەگۆڕی نێپێریش ناوی دەبەن. بە فانکشنی $e^{x}$ دەوترێت فانکشنی توانی و پێچەوانەکەی بە لۆگاریتمی سروشتی یان لۆگاریتم بە بنچینەی $e$ پێناسە دەکرێت.

کورتەمێژوو

یەکەم جار لە ساڵی ۱۶۱۸ لە وتارێکی جان نێپێردا کە سەبارەت بە لۆگاریتمەکان بڵاو کراوەتەوە، ئاماژە کراوە بە ژمارەی e . بەڵام ئەم وتارە تەنیا پێرستێک لە لۆگاریتمەکانی خستەڕوو کە بە بنچینەی ئەم ژمارە ئەژمێر کرابوون. ژاکوب بێرنۆلی بە داهێنەری ئەم ژمارەیە دادەنرێت، ناوبراو هەوڵی دا بەهای بڕی: داڕێژە:Ltr

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

داڕێژە:Ltr/end بدۆزیتەوە کە یەکسانە بە هەمان ژمارەی e.

تایبەتمەندییەکان

بیرکاری

لە بیرکاریدا زۆر گرینگی دەدرێت بە فانکشنی توانی $e^{x}$ لەبەر ئەوەی گرتەی ئەم فانکشنە یەکسانە لەگەڵ خۆی. داڕێژە:Ltr

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

داڕێژە:Ltr/end ھەروەھا لە تەواوکاری ئەم فانکشنەدا: داڕێژە:Ltr

$e^{x}=\int _{-\infty }^{x}e^{t}\,dt$

$=\int _{-\infty }^{0}e^{t}\,dt+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt$

$\qquad =1+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt.$

ژمارە ئاوێتەکان

فانکشنی توانی $e^{x}$ لە ڕێگەی کراوەی تایلۆر بەم شێوەیە دەنووسرێت: داڕێژە:Ltr

$e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

داڕێژە:Ltr/end بە بەکارھێنانی ئەم ھاوکێشە و کراوەی تایلۆری فانکشنی ساین و کۆساین، ھاوکێشەی ئۆیلەر بەم شێوەیە دەدۆزرێتەوە: داڕێژە:Ltr

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!$

داڕێژە:Ltr/end ئەم ھاوکێشە ھەموو xـە ئاوێتەکان ساغدەکاتەوە. سەرەڕای ھەموو ئەم تایبەتمەندییانە کراوەی: داڕێژە:Ltr

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),$

داڕێژە:Ltr/end بەدەست دێت کە ناسراوە بە ھاوکێشەی دێ مۆئاور. ھەروەھا ھاوکێشەی داڕێژە:Ltr

$\cos(x)+i\sin(x)\,\!$

داڕێژە:Ltr/end ناسراوە بە (Cis(x.

سەرچاوەکان

• داڕێژە:بیرخستنەوەی ویکی